data("morley")
head(morley) Expt Run Speed
001 1 1 850
002 1 2 740
003 1 3 900
004 1 4 1070
005 1 5 930
006 1 6 850ANALIZA EKSPERYMENTÓW DOTYCZĄCYCH POMIARU PRĘDKOŚCI ŚWIATŁA
PODSTAWOWE INFORMACJE O ZBIORZE DANYCH
OPIS ZBIORU DANYCH
• Expt - numer eksperymentu
• Run - numer próby w każdym eksperymencie
• Speed - zmierzona różnica prędkości światła w stosunku do 299000 km/s
STRUKTURA DANYCH
str(morley)'data.frame': 100 obs. of 3 variables:
$ Expt : int 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
$ Run : int 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
$ Speed: int 850 740 900 1070 930 850 950 980 980 880 ...summary(morley) Expt Run Speed
Min. :1 Min. : 1.00 Min. : 620.0
1st Qu.:2 1st Qu.: 5.75 1st Qu.: 807.5
Median :3 Median :10.50 Median : 850.0
Mean :3 Mean :10.50 Mean : 852.4
3rd Qu.:4 3rd Qu.:15.25 3rd Qu.: 892.5
Max. :5 Max. :20.00 Max. :1070.0 WSTĘPNA ANALIZA DANYCH
ROZKŁAD ZMIENNEJ SPEED
hist(morley$Speed, main="ROZKŁAD ZMIERZONYCH PRĘDKOŚCI", xlab="SPEED", col="lightpink")
Histogram zmierzonych prędkości pokazuje w jakich przedziałach dana wartość występuje najczęściej.
ROZKŁAD PRĘDKOŚCI WEDŁUG EKSPERYMENTU
library(ggplot2)ggplot(morley, aes(x=factor(Expt), y=Speed, color=factor(Expt))) +
geom_jitter(width=0.3, height=0, size=2) +
labs(title="PRĘDKOŚĆ ŚWIATŁA WEDŁUG EKSPERYMENTU", x="EKSPERYMENT", y="PRĘDKOŚĆ (Speed)") +
theme_minimal() +
scale_color_brewer(palette="Set2")
Wykres punktowy przedstawia zmierzoną prędkość światła w różnych eksperymentach. Eksperymenty, mające mniejszą rozrzutność mogą wykazywć większą dokładność wyników, bądź oznaczać, że eksperymenty zostały poprowadzone w zupełnie różnych warunkach - jest nim na przykład eksperyment numer 1.
ANALIZA STATYSTYCZNA
ŚREDNIA I ODCHYLENIE STANDARDOWE DLA CAŁEGO ZBIORU DANYCH
mean_speed <- mean(morley$Speed)
sd_speed <- sd(morley$Speed)
mean_speed[1] 852.4sd_speed[1] 79.01055ŚREDNIA PRĘDKOŚĆ DLA KAŻDEGO EKSPERYMENTU
aggregate(Speed ~ Expt, data=morley, FUN=mean) Expt Speed
1 1 909.0
2 2 856.0
3 3 845.0
4 4 820.5
5 5 831.5mean_speed_by_expt <- aggregate(Speed ~ Expt, data=morley, FUN=mean)ggplot(mean_speed_by_expt, aes(x=factor(Expt), y=Speed)) +
geom_bar(stat="identity", fill="lightgrey", color="pink") +
labs(title="ŚREDNIA PRĘDKOŚĆ DLA KAŻDEGO EKSPERYMENTU",
x="EKSPERYMENT",
y="PRĘDKOŚĆ") +
theme_minimal()
Wykres słupkowy pokazuje małą róznicę między średnimi prędkościami w eksperymenatch 1-5.
ANALIZA WARIANCJI ANOVA
anova_result <- aov(Speed ~ factor(Expt), data=morley)
summary(anova_result) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
factor(Expt) 4 94514 23629 4.288 0.00311 **
Residuals 95 523510 5511
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1OPIS WIERSZY ANALIZY WARIANCJI ANOVA
• Expt - eksperymenty (źródło zmienności)
• Residuals (reszta) - reprezentuje zmienność wewnątrz grup
OPIS KOLUMN ANALIZY WARIANCJI ANOVA
• Sum Sq (suma kwadratów) - średnia zmienność między eksperymentami
• Mean Sq - średnia zmienność między eksperymentami
• F value - stosunek zmienności róźnic między eksperymentami do zmienności wewnętrznej
• P value (Pr(>F)) - wartość, informująca czy różnice między eksperymentami są statystycznie istotne
INTERPRETACJA WYNIKÓW ANALIZY WARIANCJI ANOVA
Wartość P-value (Pr(>f)) wynosi 0.00311 (<0.005), co oznacza, że istnieje statystycznie instotna różnica pomiędzy prędkościami światła w różnych eksperymentach. Możemy zatem odrzucić hipotezę zerową, która zakłada brak różnic.
WIZUALIZACJA WYNIKÓW ANOVA
plot(anova_result)
ANALIZA REGRESJI
data(morley)
head(morley) Expt Run Speed
001 1 1 850
002 1 2 740
003 1 3 900
004 1 4 1070
005 1 5 930
006 1 6 850Speed jest zmienną zależną.
MODEL REGRESJI Z JEDNĄ ZMIENNĄ NIEZALEŻNĄ
• Speed - zmienna zależna
• Expt (numer eksperymentu) - zmienna niezależna
model <- lm(Speed ~ Expt, data=morley)
summary(model)
Call:
lm(formula = Speed ~ Expt, data = morley)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-240.50 -40.74 1.65 55.70 179.50
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 909.550 17.496 51.986 < 2e-16 ***
Expt -19.050 5.275 -3.611 0.000483 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 74.6 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1174, Adjusted R-squared: 0.1084
F-statistic: 13.04 on 1 and 98 DF, p-value: 0.0004827WYKRES REGRESJI Z JEDNĄ ZMIENNĄ NIEZALEŻNĄ
plot(morley$Expt, morley$Speed, main="REGRESJA: SPEED W ZALEŻNOŚCI OD EXPT",
xlab="EXPT", ylab="SPEED", pch=19, col="lightpink")
abline(model, col="black", lwd=2)
MODEL REGRESJI Z DWIEMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI
• Speed - zmienna zależna
• Expt (numer eksperymentu) - zmienna niezależna
• Run (numer próby w każdym eksperymencie) - zmienna niezależna
model_multi <- lm(Speed ~ Expt + Run, data=morley)
summary(model_multi)
Call:
lm(formula = Speed ~ Expt + Run, data = morley)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-239.27 -41.48 2.53 55.96 177.21
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 913.2447 22.2564 41.033 < 2e-16 ***
Expt -19.0500 5.3004 -3.594 0.000514 ***
Run -0.3519 1.3000 -0.271 0.787208
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 74.96 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1181, Adjusted R-squared: 0.09992
F-statistic: 6.495 on 2 and 97 DF, p-value: 0.002253WYKRES REGRESJI : SPEED W ZALEŻNOŚCI OD EXPT Z UWZGLĘDNIENIEM RUN
ggplot(morley, aes(x = factor(Expt), y = Speed, color = factor(Run))) +
geom_point() +
geom_smooth(method = "lm", aes(group = factor(Run)), se = FALSE, color = "pink") +
labs(title = "REGRESJA: SPEED W ZALEŻNOŚCI OD RUN
Z UWZGLĘDNIENIEM EXPT",
x = "Eksperyment (Expt)",
y = "Prędkość (Speed)",
color = "Run") +
theme_minimal()`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
WYKRES REGRESJI: SPEED W ZALEŻNOŚCI OD RUN Z UWZGLĘDNIENIEM EXPT
ggplot(morley, aes(x = Run, y = Speed, color = factor(Expt))) +
geom_point() +
geom_smooth(method = "lm", aes(group = factor(Expt)), se = FALSE, color = "pink") +
labs(title = "Regresja: Speed w zależności od Run
z uwzględnieniem Expt",
x = "PRZEBIEG (Run)",
y = "PRĘDKOŚĆ (Speed)",
color = "EKSPERYMENT (Expt)") +
theme_minimal()`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
WYKRES 3D ZALEŻNOŚCI SPEED OD DWÓCH ZMIENNYCH NIEZALEŻNYCH
x <- morley$Expt
y <- morley$Run
z <- morley$Speed
zmat <- matrix(z, nrow = length(unique(x)), ncol = length(unique(y)), byrow = TRUE)
persp(unique(x), unique(y), zmat, theta = 30, phi = 20, expand = 0.6,
col = "pink", shade = 0.5,
xlab = "EXPT", ylab = "RUN", zlab = "SPEED",
main = "WYKRES 3D: Speed w zależności od Expt i Run")
WNIOSKI NA PRZYKŁADZIE ANALIZY REGRESJI
Model regresji z jedną zmienną niezależną wyjaśnia, że eksperymenty mają duży wpływ na zmierzoną prędkość światła.
Poprzez model regresji z dwiema zmiennymi niezależnymi możemy zauważyć, żę zarówno zmienna Run jak i zmienna Expt mają istotny wpływ na zmierzoną prędkość światła.
PODSUMOWANIE
Podsumowując analizę zbioru danych “morley”, która pozwoliła na uzyskanie istotnych wyników, możemy zauważyć, że wskazują one na znaczący wpływ przebiegów oraz eksperymentów na prędkość światła.